\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\IR{\mathop{\rm I\kern-0.18em R}\nolimits}

\begin{document}

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\noindent
{\bf K"unstliche Neuronale Netze und Deep Learning}
\hfill Sommer 2018 \\
Christian Borgelt und Christoph Doell \hfill ab 2018.04.24

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\vskip3ex
\centerline{\bf Organisatorische Regelungen f"ur die Pr"ufungszulassung}

\medskip\noindent
Zur Vorlesung gibt es "Ubungsbl"atter mit Aufgaben.
Die Aufgaben werden am Anfang der zugeh"origen "Ubung {\em votiert}.
Durch eine Votierung erkl"art man sich bereit, zu einer Aufgabe
vorzutragen. (L"osungsvorschl"age werden diskutiert, sie m"ussen
nicht gleich richtig sein.) Zur Pr"ufung wird zugelassen, wer
\begin{enumerate}\itemsep0pt\parskip2pt
\item {\em mindestens\/} die H"alfte der "Ubungsaufgaben votiert
      {\em und}
\item {\em mindestens\/} zweimal in den "Ubungen vorgetragen hat.
\end{enumerate}

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\vskip3ex
\centerline{{\bf 1.~"Ubungsblatt} \quad --- \quad
            Erinnerung: Vektorrechnung und Geometrie}

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\subsubsection*{Aufgabe 1 \quad\rm Vektorrechnung}

Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{x} = (3,1,2)^\top$ und
$\vec{y} = (2,3,4)^\top$. Berechnen Sie
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item[a)\hfill] den Differenzvektor,
                der von $\vec{x}$ nach $\vec{y}$ zeigt,
\item[b)\hfill] das Skalarprodukt (oder innere Produkt)
                $\vec{x}^\top\! \cdot \vec{y}$,
\item[c)\hfill] das Vektorprodukt $\vec{x} \times \vec{y}$.
\item[d)\hfill] das Matrixprodukt (oder "au"sere Produkt)
                $\vec{x} \cdot \vec{y}^\top$,
\item[e)\hfill] den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
\end{enumerate}

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\subsubsection*{Aufgabe 2 \quad\rm Hessesche Normalform}

Bringen Sie folgende Geradengleichungen in die Hessesche Normalform
$\vec{r}^\top\! \cdot \vec{n}_0 - d = 0$:
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item[a)\hfill] $3x - 4y - 20 = 0$,
\item[b)\hfill] $x + y + 3 = 0$,
\item[c)\hfill] $y = b x + c$ mit $c < 0$.
\end{enumerate}

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\subsubsection*{Aufgabe 3 \quad\rm Abst"ande zu Geraden}

\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item[a)\hfill] Welchen Abstand hat der Ursprung
                von der Geraden $12x - 5y + 39 = 0$?
\item[b)\hfill] Welchen Abstand hat $P_1 ~\widehat{=}~ (4, 3)^\top$
                von der Geraden, die die Koordinatenachsen bei
                $x = \frac{10}{3}$ und $y = \frac{5}{2}$ schneidet?
\item[c)\hfill] Welchen Abstand haben die Parallelen $2x-3y = 6$ und
                $4x-6y = 25$ voneinander?
\end{enumerate}

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\subsubsection*{Aufgabe 4 \quad\rm Ebenengleichungen}

Welche Ebene durch den Punkt $\vec{p} = (-3, 0, 2)^\top$
ist senkrecht zur Geraden \\
$\vec{x} = (-1, -2, 0)^\top + k \cdot (1, 1, -1)^\top$
f"ur $k \in \IR$?

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\subsubsection*{Aufgabe 5 \quad\rm Punkte auf einer Ebene}

Eine Ebene durch den Punkt mit Ortsvektor~$\vec{p}$,
die senkrecht zum Vektor~$\vec{n}$ verl"auft,
hat die Gleichung $(\vec{x} - \vec{p})^\top \vec{n} = 0$.
Es seien $\vec{p} = (1, -1, 2)^\top$ und $\vec{n} = (1, 2, -3)^\top$. \\
Welche der folgenden Punkte liegen in der Ebene? \\
$P_1 ~\widehat{=}~ (-2, -1, 1)^\top$,
$P_2 ~\widehat{=}~ (1, -1, 2)^\top$,
$P_3 ~\widehat{=}~ (2, -2, 1)^\top$.

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\subsubsection*{Aufgabe 6 \quad\rm
                Abstand eines Punktes von einer Ebene}

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Abstandes eines
Punktes~$\vec{y} = (y_1,y_2,y_3)^\top$ von einer Ebene
$(\vec{x}-\vec{p})^\top \vec{n} = 0$. Berechnen Sie mit dieser
Formel den Abstand f"ur $\vec{p} = (-1,-1,-1)^\top$,
$\vec{n} = (4,-2,3)^\top$ und $\vec{y} = (3,14,-6)^\top$.

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\end{document}
