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\def\IR{\mbox{I\kern-0.2em R}}
\def\IQ{\mbox{$\;$\raise0.1ex\hbox{\rule{0.5pt}{1.4ex}}\kern-0.26em Q}}

\begin{document}

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\noindent
{\bf K"unstliche Neuronale Netze und Deep Learning}
\hfill Sommer 2017 \\
Christian Borgelt und Christoph Doell \hfill ab 2017.05.16

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\vskip3ex
\centerline{\bf 2.~"Ubungsblatt}

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\subsubsection*{Aufgabe 7 \quad\rm Schwellenwertelemente/Perzeptren}

Bestimmen Sie die Parameter von {\em einzelnen\/}
Schwellenwertelementen, so da\3 diese die folgenden Booleschen
Funktionen berechnen: \\[1ex]
\begin{tabular}{ll}
a) & $y = \phantom{\neg}x_1 \vee x_2$ \\
b) & $y = \neg x_1 \wedge x_2$
\end{tabular} \\[1ex]
(Hinweis: Ein Schwellenwertelement berechnet, auf welcher Seite
einer (Hyper-)Ebene ein Eingabevektor liegt. Gehen Sie von einer
geometrischen Darstellung aus.)

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\subsubsection*{Aufgabe 8 \quad\rm Schwellenwertelemente/Perzeptren}

Bestimmen Sie die Parameter von {\em einzelnen\/}
Schwellenwertelementen, so da\3 diese die folgenden Booleschen
Funktionen berechnen: \\[1ex]
\begin{tabular}{lll}
a) & $y = x_1 \wedge \neg x_2 \wedge x_3$
   & (oder kurz: $x_1\overline{x_2}x_3$) \\
b) & $y = (x_1 \wedge \neg x_2) \vee (x_1 \wedge x_3)$
   & (oder kurz: $x_1\overline{x_2} \vee x_1x_3$) \\
c) & $y = (x_1 \wedge x_2) \vee (\neg x_2 \wedge x_3)$
   & (oder kurz: $x_1x_2 \vee \overline{x_2}x_3$) \\
d) & $y = (x_1 \wedge x_2) \vee \neg x_3$
   & (oder kurz: $x_1x_2 \vee \overline{x_3}$)
\end{tabular} \\[1ex]
(Hinweis: Ein Schwellenwertelement berechnet, auf welcher Seite
einer (Hyper-)Ebene ein Eingabevektor liegt. Gehen Sie von einer
geometrischen Darstellung aus.)

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\subsubsection*{Aufgabe 9 \quad\rm Schwellenwertelemente/Perzeptren}

Versuchen Sie die Parameter eines Schwellenwertelementes zu bestimmen,
so da\3 es das Exklusive Oder (geschrieben $x_1 \dot{\vee} x_2$ oder
$x_1 \oplus x_2$) berechnet! Welches Problem tritt auf? Wie kann man
dieses Problem l"osen? (Hinweis: Erinnern sie sich an die in der
Vorlesung behandelte L"osung des Biimplikationsproblems.)

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\subsubsection*{Aufgabe 10 \quad\rm Netze von Schwellenwertelementen}

\parbox{110mm}{Geben Sie ein neuronales Netz aus Schwellenwertelementen
an, das f"ur Punkte~$(x_1,x_2)$ innerhalb des in der nebenstehenden
Skizze gezeigten Dreiecks den Wert~1 und f"ur Punkte au\3erhalb den
Wert~0 liefert! \\[1ex]
(Hinweis: Erinnern Sie sich an das in der Vorlesung
behandelte neuronale Netz zur L"osung des Biimplikationsproblems und
interpretieren Sie die Berechnungen der Schwellenwertelemente der
ersten Schicht als eine Koordinatentransformation.)}\hfill
\parbox{38mm}{\includegraphics{nnex-00}}

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\end{document}
