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\def\tabstrut{\rule{0pt}{2.4ex}}

\begin{document}

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\noindent
{\bf K"unstliche Neuronale Netze und Deep Learning}
\hfill Sommer 2018 \\
Christian Borgelt und Christoph Doell \hfill ab 2018.05.15

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\vskip3ex
\centerline{\bf 4.~"Ubungsblatt}

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\subsubsection*{Aufgabe 15 \quad\rm
                Methode der kleinsten Quadrate/Regression}

Bestimmen Sie Ausgleichsgeraden~$y = a +bx$ (Regressionsgeraden) f"ur
die folgenden beiden Datens"atze mit Hilfe der Methode der kleinsten
Quadrate:
\begin{enumerate}\itemsep0pt\parskip0pt
\item[a)] $(-2,0), (0,1), (1,3), (2,5)$
\item[b)] $(-1,3), (1,2), (2,0), (4,-2)$
\end{enumerate}
Zeichnen Sie die Datenpunkte und die Ausgleichsgeraden!

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\subsubsection*{Aufgabe 16 \quad\rm
                Methode der kleinsten Quadrate/Regression}

Bestimmen und zeichnen Sie f"ur den Datensatz der Aufgabe~15a eine
Ausgleichsparabel~$y = a +bx +cx^2$!

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\subsubsection*{Aufgabe 17 \quad\rm
                Exponentielle Regression}

Radioaktive Substanzen zerfallen nach dem Gesetz
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t},$ wobei $t$ die Zeit, $\lambda$ ein
subtanzabh"angiger Zerfallsparameter, $N_0$ die zu Beginn und $N(t)$
die zum Zeitpunkt~$t$ noch vorhandenen Teilchen der radioaktiven
Substanz sind. Mit Hilfe eines Geiger-M"uller-Z"ahlers werden bei einer
kleinen Probe eines radioaktiven Materials die folgenden Anzahlen~$n$
der bis zu den Zeitpunkten~$t$ ausgesandten $\alpha$-Teilchen gemessen:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}\hline
$t$ (in s) & 0 &  30 &  60 &  90 & 120 & 150 & 180 & 210 & 240%
\tabstrut \\ \hline
$n$        & 0 & 306 & 552 & 655 & 768 & 863 & 901 & 919 & 956%
\tabstrut \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Jedes gez"ahlte $\alpha$-Teilchen zeigt den Zerfall eines Teilchens
der radioaktiven Substanz an. Bestimmen Sie die Halbwertszeit der
radioaktiven Substanz! \\[1ex]
Vorgehen: Legen Sie durch die Datenpunkte eine Ausgleichskurve
$n = n_0 (1 -e^{a +bt})$! \\ (Hinweis: Sie m"ussen dazu eine
Transformation finden, durch die das Problem auf die Bestimmung einer
Ausgleichsgeraden zur"uckgef"uhrt wird; $n_0 = 1000$.) Obwohl man so
einen Wert f"ur $a$ erh"alt, der von 0 verschieden ist, wird man $-b$
als N"aherungswert f"ur den Zerfallsparameter~$\lambda$ ansehen d"urfen,
aus dem man die Halbwertszeit leicht berechnen kann.

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\subsubsection*{Aufgabe 18 \quad\rm Logistische Regression}

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der amerikanischen
ballistischen Interkontinentalraketen (intercontinental ballistic
missiles, ICBMs) in den sechziger Jahren:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{10}{r|}}\hline
Jahr, $x$\tabstrut &
1960 & 1961 & 1962 & 1963 & 1964 & 1965 & 1966 & 1967 & 1968 & 1969 \\
\hline
Anzahl, $y$\tabstrut &
  18 &   63 &  294 &  424 &  834 &  854 &  904 & 1054 & 1054 & 1054 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Finden Sie eine Ausgleichskurve mit Hilfe logistischer Regression
($Y = 1060$)! Zeichnen Sie die Originaldaten und skizzieren Sie die
Kurve $y = \frac{1060}{1 +e^{a +bx}}$!

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\end{document}
