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\def\net{\mathop{\rm net}\nolimits}
\def\act{\mathop{\rm act}\nolimits}

\begin{document}

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\noindent
{\bf K"unstliche Neuronale Netze und Deep Learning}
\hfill Sommer 2018 \\
Christian Borgelt und Christoph Doell \hfill ab 2018.07.17

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\vskip3ex
\centerline{\bf 11.~"Ubungsblatt}

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\subsubsection*{Aufgabe 43 \quad\rm Hopfield-Netze: Zustandsgraph}

\hangindent-36mm\hangafter-6\noindent
\hbox to0pt{\vbox to1.5ex{\noindent\hbox to\textwidth{\hss
\includegraphics{nnex-11}}\vss}\hss}%
Die nebenstehende Abbildung zeigt ein einfaches
Hopfield-Netz. Bestimmen Sie f"ur dieses Netz ausgehend vom
Anfangszustand $(\act_{u_1}, \act_{u_2}, \act_{u_3}) = (-1,-1,-1)$
den bzw.\ die Endzust"ande! \\
(Hinweis: Verwenden Sie einen Zustands"ubergangsgraphen. Markieren
Sie in diesem Graphen Start- und Endzust"ande. Beachten Sie,
da"s es kein explizites Startneuron gibt und somit alle m"oglichen
Folgezust"ande zu ber"ucksichtigen sind.)

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\subsubsection*{Aufgabe 44 \quad\rm Hopfield-Netze: Energiefunktion}

Bestimmen Sie die Energiefunktion des Hopfield-Netzes aus Aufgabe~43!
Berechnen Sie mit Hilfe dieser Energiefunktion die Energien der
einzelnen Zustände. Ordnen Sie dann die Zust"ande nach dieser Energie
an, d.h., zeichnen Sie einen neuen Zustands"ubergangsgraphen, in dem
die Position der Zust"ande ihre Energie angibt!

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\subsubsection*{Aufgabe 45 \quad\rm Hopfield-Netze: Mustererkennung}

In einem Hopfield-Netz mit vier Neuronen sollen die beiden Muster
$(-1, +1, -1, +1)$ und $(+1, -1, -1, +1)$ gespeichert werden, d.h.,
diese Muster sollen stabile Zust"ande des Netzes sein, die durch
eine Aktualisierung beliebiger Neuronen nicht verlassen werden.
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item[a)] Berechnen Sie die Verbindungsgewichte und die Schwellenwerte
     der Neuronen eines Hopfield-Netzes, das die obigen Muster
     speichert!
\item[b)] Wie viele weitere Muster k"onnen in diesem Netz noch
     gespeichert werden?
\item[c)] Finden Sie zwei weitere Muster, die man zus"atzlich in dem
     von Ihnen konstruierten Netz speichern k"onnte, ohne da"s die
     alten Muster vergessen werden! \\
     (Um diese Muster tats"achlich zu speichern, m"ussen nat"urlich
     eventuell die Verbindungsgewichte ge"andert werden.)
     K"onnen diese beiden Muster gleichzeitig gespeichert werden?
\end{enumerate}

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\subsubsection*{Aufgabe 46 \quad\rm Hopfield-Netze:
                                    L"osen von Optimierungsproblemen}

Gegeben sei eine Folge $F = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ ganzer Zahlen.
Wir nehmen vereinfachend an, da"s mindestens eine dieser Zahlen nicht
negativ ist. Gesucht ist die maximale Teilsumme dieser Folge, d.h.\
das Maximum der Summen von Teilfolgen der Folge~$F$, wobei wir unter
einer Teilfolge der Folge~$F$ eine Folge
$F_{ij} = (a_i, a_{i+1}, \ldots, a_j)$ mit $1 \le i \le j \le n$
verstehen. Wir suchen also
\[ \mbox{\rm mts}(F) = \max_{1 \le i \le j \le n} \sum_{k=i}^j a_k. \]
Konstruieren Sie ein Hopfield-Netz zur L"osung dieses
Optimierungsproblems! \\
(Hinweis: Sie m"ussen eine geeignete Energiefunktion finden.)

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\end{document}
